環境によって機械式時計がすすんだり、遅れたりするのか教えてもらえませんか？

そんなに変わらないと思いますよ。

ただ、環境によって悪影響を与える場合はありますが。例えば湿気の多いところや磁気の多いところ、寒暖の差が激しかったりすると、調子が悪くなるでしょう。
あと、使い方によっても、例えばゼンマイの巻きが不十分だと遅れ気味になったりするかもしれません。